中原大學九十一學年度進修學士班招生考試

91年7月27日 10:30~12:00 化工系、工工系    誠實是我們珍視的美德,
我們喜愛「拒絕作弊,堅守正直」的你!
科目:數學

請作答於答案卷內
一、 選擇題 (單選,每題 8 分)
   
( )
1.
在坐標平面上,直線 y = 2 與直線 y = 3 分別與曲線 y = log3x 交於A,B兩點,則直線 的斜率為 (A) 18   (B) 9  (C)  (D) .
     
( )
2.
一邊長為1的正方形,自四角各截去一等腰直角三角形,使成為一正八邊形,則此正八邊形的一邊長為 (A)  (B) -1  (C)  (D) .
     
( )
3.
在橢圓 = 1上,函數 = 3x+2y 的最大值為
(A)  (B) 6  C) 36  (D) 13 .
     
( )
4.
從 12 到 60 這 49 個自然數中任意選取一個自然數 n,作成二次方程式 ,此方程式的兩根皆為整數的機率為
(A)  (B)  (C)  (D) .
   
( )
5.
,則 (A) 1  (B) 0  (C) -1  (D) i .
 
 
二、 填充題 (每題 8 分)
   
1.
a,b,c,d 為四個正實數,已知 a,b,c 成等比數列,a+b+c =19,而 b,c,d 成等差數列,b+c+d = 12,則 a2+b2+c2+d2 =        .
 
2.
多項式 x10 + 1 被 (x-1)2 除,所得之餘式為        .
 
3.
已知 x,y 是整數,9x–29y = 1 且 6430 < x < 6480 則 y =      .
 
4.
帆船位於燈塔之西南方,遊艇位於燈塔南 15° 西,又遊艇位於帆船之東南方,今測得帆船至燈塔的距離為 9 公里,則帆船與遊艇兩舟相距      公里.
 
5.
袋子中有 1 號球 1 個,2 號球 2 個,3 號球 3 個,…,1 0號球 10 個,從袋中任取一球則球號的期望值為        .
 
 
三、 證明題與計算題
   
1.
阿進與阿文二人自甲地出發走向乙地,一到乙地立刻又折返。阿進慢阿文一小時出發,但在距乙地4.5 公里處追到阿文;再過一小時後,阿進在折返途中與阿文相會。當阿進回到甲地時,阿文仍在回程路上距甲地 5.8 公里處,試求甲、乙兩地的距離。(15分)
 
2.
某工廠以 A,B,C,D 四種原料製造甲、乙兩種產品,製造一個甲產品須用 A,B,C,D 四種原料各 2 公斤、2 公斤、0 公斤、3 公斤,而製造一個乙產品須用 A,B,C,D 四種原料各 3 公斤、1 公斤、3 公斤、0 公斤。現在 A,B,C,D 四種原料的庫存量依順各為19 公斤、13 公斤、15 公斤、18 公斤。甲產品一個可獲利7萬元,乙產品一個可獲利 5 萬元,利用現有的庫存原料欲獲得最大利益,則甲乙兩產品各應製造幾個?(16分)
 
3.
觀察下列各等式
13. = 1
23 = 3+5
33 = 7+9+11
43 = 13+15+17+19
對任意自然數 n,試寫出一般的公式,並以歸納法證明你所寫出之公式。(14分)
 
4.
(a)
試討論此函數遞增或遞減的狀況。(5分)
(b)
試討論此函數的凹向狀況。(5分)
(c)
此函數有否極大值或極小值?(若有,請寫出) (5分)
(d)
有否反曲點?(若有,請寫出) (5分)
(e)
試描繪出此函數的圖形。(5分)

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